Modelos matemáticos de sistemas

Un modelo matemático usa símbolos matemáticos para describir y explicar al sistema representado. Normalmente es usado para predecir y controlar y poseen un alto grado de abstracción y de precisión en su aplicación (Skyttner, 2001).

Los modelos matemáticos pueden ser desarrollados de diferentes maneras: o puramente teóricos, basados en las relaciones físicas, o puramente empírico, basados en experimentos realizados en el sistema existente, o por una combinación de ambas maneras.

En el caso del análisis teórico, las propiedades dinámicas del sistema son obtenidas de las ecuaciones físicas, químicas o de conservación respectivas, relaciones económicas, reglas empíricas o demás elementos de una teoría en particular. Para establecer estas ecuaciones, los sistemas son divididos en unidades tan simples como sea posible. Las leyes de la conservación de la masa, momento y energía son aplicadas sobre estos subsistemas, y más aún, ecuaciones de estado y leyes fenomenológicas deben ser tomadas en cuenta. Para los subsistemas individuales, un set de ecuaciones diferenciales acopladas, lineales o no lineales, ordinarias o parciales son obtenidas. El conjunto de las ecuaciones con todas las condiciones de frontera en las que resulta la división del sistema forma el modelo del proceso.

La elaboración de modelos puede ser resumida en los siguientes pasos (Elnashaie, 2003):

1. Identificación de la configuración del sistema, sus alrededores y sus modos de interacción
2. Introducción de las suposiciones simplificadoras necesarias
3. La identificación de las variables relevantes que describen al sistema
4. La identificación de los procesos que ocurren dentro del sistema
5. La determinación de las leyes cuantitativas y cualitativas que ocurren en el proceso, en función de sus variables.
6. La identificación de las variables que actúan sobre el sistema (llamadas entradas)
7. La formulación de las ecuaciones del modelo basado en los principios que lo describen.
8. El desarrollo de los algoritmos necesarios para la solución de las ecuaciones del modelo
9. La verificación del modelo, es decir, la comparación de los resultados obtenidos de la utilización del modelo matemático respecto al comportamiento del sistema original.

Los modelos pueden ser divididos en modelos de parámetros distribuidos o de parámetros agrupados (Fasol & Jörgl, 1980). El modelo de parámetros distribuidos el comportamiento dinámico del sistema esta descrito por ecuaciones diferenciales parciales del tipo parabólico, elíptico o hiperbólico. En un modelo de parámetros agrupados, las ecuaciones usadas para describir al sistema son ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o no lineales.

Al tratar con modelos de parámetros agrupados, el modelo puede ser discretizado en el tiempo, dando lugar a modelos discretos, en contraposición al modelo continuo. El modelo discreto es descrito por ecuaciones de diferencias.

Los modelos también pueden ser clasificados en Estocásticos y Determinísticos (Fasol & Jörgl, 1980). En los modelos estocásticos, las relaciones entre las variables son dadas en términos de valores estadísticos, mientras que en los modelos determinísticos la probabilidad de un evento no es importante.

Un modelo determinístico puede ser clasificado como paramétrico o no paramétrico (Fasol & Jörgl, 1980). La obtención del modelo paramétrico consiste en determinar los parámetros de estructuras matemáticas fijas como ecuaciones algebraicas, diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales. En los modelos no paramétricos la respuesta del sistema es obtenida a través de un análisis directo o indirecto del sistema físico. Un modelo paramétrico puede obtenerse a partir de uno no paramétrico.

Un modelo también puede clasificarse como estático o dinámico (Fasol & Jörgl, 1980). Un modelo estático es siempre descrito por su comportamiento dinámico. Algunas veces el sistema es tan rápido o un subsistema es tan rápido comparado con el resto del sistema, que las propiedades dinámicas de éste pueden ser despreciadas y el sistema o subsistema puede ser descrito en términos de un modelo estático.

Otra clasificación de los sistemas puede hacerse como se presenta en (Elnashaie, 2003). Esta información, clasificada, se presenta en la Tabla 1.

Tabla 1: Clasificación de los modelos (Elnashaie, 2003)

Leyes y reglas universales para la obtención de modelos

Los principios y leyes que se muestran en la Tabla 2 y Tabla 3 aplican para la mayoría de los sistemas. Su uso puede permitir la construcción de modelos basados en su descripción. Para algunas áreas de conocimiento, estas leyes y principios pueden complementarse con otras relaciones obtenidas de la base de información específica de esa área. De ninguna manera la información de la Tabla 2 y Tabla 3 es completa.

Tabla 2: Reglas fundamentales de los sistemas (Skyttner, 2001)

Tabla 3: Principios fundamentales de los sistemas (Skyttner, 2001)

Referencias

Elnashaie, S. S. (2003). Conservation Equations and Modeling of Chemical and Biochemical Processes. New York: Marcel Dekker, Inc.

Fasol, K. H., & Jörgl, H. P. (1980). Principles of Model Building and Identification. Automatica, 16, 505-518.

Skyttner, L. (2001). General Systems Theory. Singapore: World Scientific Printers.