Identificación de modelos de sistemas dinámicos

Figura 1. Etapas para un proceso de identificación (Ljung, 1987).

Cuando solo se poseen datos del sistema a modelar, es posible usar identificación de sistemas dinámicos, a través de la obtención de un modelo que intenta reproducir su comportamiento como un sistema de entrada salida. Sin embargo, no todos los sistemas pueden representarse como un proceso de entrada-salida, en el caso de que sea necesario otra representación, existen modelos como los de espacio de estado que permiten interpretar la evolución de las partes internas del sistema.

Si se realiza un análisis experimental (también llamado identificación) de un proceso, las señales de entrada y salida del proceso pueden ser medidas. Las medidas son entonces evaluadas en un procedimiento de identificación dando lugar a un modelo matemático del proceso (Fasol & Jörgl, 1980).

Por medición de las entradas y salidas del sistema, se obtiene un modelo para el comportamiento entrada-salida del sistema. Las variables de entrada pueden ser señales de operación del proceso o señales de prueba artificiales. Si la estructura de un modelo es conocida con anterioridad, o bien puede ser asumida con cierta certeza, entonces puede determinarse un método paramétrico de identificación. El resultado de la identificación es un modelo experimental del sistema.

La construcción de un modelo a partir de datos involucra las tres siguientes entidades (Ljung, 1987):

1. Los datos
2. Un conjunto de modelos candidatos
3. Una regla en la cual obtener el mejor modelo obtenido usando los datos.

Los datos:

Los datos de entrada y salida se obtienen algunas veces durante un experimento específicamente diseñado para la identificación, donde el usuario puede determinar que señales medir y cuando medirlas y puede además elegir las señales de entrada. El objetivo de diseño del experimento es, por tanto, hacer estas elecciones de manera que los datos sean lo más informativos posibles, sujeto a las restricciones deseadas. Algunas veces el usuario no tiene oportunidad de afectar al sistema, limitándose a los datos de la operación normal del sistema (Ljung, 1987).

El conjunto de modelos:

Un conjunto de modelos se obtiene especificando dentro de cual tipo de modelos posibles se desea buscar por unos adecuados. No hay duda de que es la parte más importante y la más difícil de las selecciones del procedimiento de la identificación del proceso. Es aquí donde un conocimiento previo y la intuición ingenieril tienen que ser combinados con propiedades formales de los modelos. Algunas veces el conjunto de modelos se discierne luego de un cuidadoso modelaje. Entonces, un modelo con algunos parámetros físicos desconocidos es construido a partir de las leyes básicas de la física y otras leyes bien conocidas. En otros casos modelos lineales estándares son utilizados, sin referencia al conocimiento físico previo, y son un conjunto de modelos cuyos parámetros son vistos básicamente como elementos para ser ajustados y aproximarse a los datos y no reflejan las consideraciones físicas en el sistema, llamados también modelos de caja negra. Conjuntos de modelos con parámetros ajustables con significados físicos se llaman de caja gris (Ljung, 1987).

Determinar cuál es el mejor modelo del conjunto, guiado por los datos:

Este es el paso que se conoce como “método de identificación”. La calidad de un modelo por lo general está basado en como el modelo se comporta cuando intenta reproducir los datos medidos (Ljung, 1987).

El procedimiento de identificación se muestra, a través de un diagrama de flujo, en la Figura 1.

Sabiendo que para modelar un proceso a través de identificación se necesitan los datos observados, en el caso de un sistema dinámico con una entrada en el instante t denominada como u(t) y una salida en el instante t denominada como y(t) los datos serán una colección finita de observaciones:

 

El problema de los métodos de identificación consiste en encontrar relaciones matemáticas entre las secuencias de entrada y las secuencias de salida. O también, si se definen las observaciones de forma más general:

 

Lo que es de interés es cómo determinar y(N+1) a partir de φ(N+1). En el caso de un sistema dinámico, j(t) contendría la información de las entradas y salidas anteriores a t.

El problema matemático que se formula es la construcción de una función g(t,j(t)) tal que a partir de ella se pueda determinar y(t):

 

En general se busca una función g que sea parametrizable, es decir que tenga un número finito de parámetros. A estos parámetros se les denomina con q. A toda la familia de funciones candidatas se las denomina estructura del modelo, y en general estas funciones se escriben como g(q,t,j(t)). Esta función permite calcular el valor y(t):

La búsqueda de una buena función se realiza en términos del parámetro q, y el cálculo del valor q_N conduce a:

 

Validación de los modelos:

Después de haber establecido y terminado las elecciones para la construcción de un modelo, se debe probar que “tan bueno” es el modelo o, dicho de otra manera, que tan válido es el modelo para su propósito. Para ello un conjunto de pruebas deben realizarse sobre el modelo. Este conjunto de pruebas se conoce como validación del modelo, e involucran varios procedimientos para determinar como el modelo se relaciona con los datos observados y con su uso deseado. Los modelos deficientes deberán ser desechados, mientras que los que tengan un buen desenvolvimiento en las pruebas se pueden considerar como modelos confiables. Un modelo nunca puede ser aceptado como una descripción final y verdadera del sistema, es más, solo puede ser considerado como suficientemente bueno como para dar una descripción de ciertos aspectos que son de interés particular para el modelador. Es posible, entonces, que un modelo obtenido no pase las pruebas de validación. Se debe entonces revisar los pasos del procedimiento.

Es posible, a través de la aplicación directa de las leyes que describen al sistema, obtener una descripción del comportamiento de él y sus elementos. Este trabajo sistemático puede realizarse a través de la correcta identificación de las partes y los fenómenos que en él ocurren, con la aplicación de las leyes adecuadas y los principios básicos que describen a los sistemas y los principios específicos de las áreas del conocimiento necesarias para su descripción. Sin embargo, es de especial importancia una correcta descripción del sistema, su delimitación y la correcta simplificación. En definitiva, no existe una única descripción de un sistema y su representación depende de la intención con la que se desea  modelar al sistema y el uso que se le desee dar.

Referencias

Fasol, K. H., & Jörgl, H. P. (1980). Principles of Model Building and Identification. Automatica, 16, 505-518.

Ljung, L. (1987). System identification: Theory for the user. New York: Prentice-Hall, Inc